Mathematische Modellierung der Epidemiologie

Mathematische Modellierung der Epidemiologie

Die meisten Infektionskrankheiten können mathematisch modelliert werden, um ihr epidemiologisches Verhalten zu untersuchen oder zu prognostizieren. Mittels einiger Grundannahmen lassen sich Parameter für verschiedene Infektions-krankheiten finden, mit denen sich beispielsweise Kalkulationen über die Auswirkung von Impfprogrammen aufstellen lassen.

Konzepte

Die Basisreproduktionszahl {\displaystyle R_{0}} ist die Anzahl der Sekundärfälle, die ein Infizierter in einer gegebenen Population erzeugt. Hierbei wird davon ausgegangen, dass in der Population keine Immunität existiert.

{\displaystyle S} (von englisch Susceptibles) ist der Anteil der Bevölkerung, der nicht immun gegen die Krankheit ist. Dies ist eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1.

{\displaystyle A} kennzeichnet das durchschnittliche Alter, in dem eine Population von der Krankheit betroffen wird.

{\displaystyle L} (von englisch Life expectancy) kennzeichnet die durchschnittliche Lebenserwartung in der Bevölkerung.

Annahmen

• Es wird von einer rechteckigen Alterspyramide ausgegangen, wie sie typischerweise in entwickelten Ländern mit geringer Kindersterblichkeit und häufigem Erreichen der Lebenserwartung zu finden ist.
• Es wird eine homogene Mischung der Bevölkerung vorausgesetzt. Das heißt, dass die untersuchten Individuen Kontakte zufällig knüpfen und sich nicht überwiegend auf eine kleinere Gruppe beschränken. Diese Voraussetzung ist selten gerechtfertigt, sie ist jedoch zur Vereinfachung der Mathematik notwendig.

Der endemische Status

Eine Infektionskrankheit ist endemisch, wenn sie fortwährend ohne externe Einflüsse innerhalb einer Population existiert. Das bedeutet, dass im Mittel jede erkrankte Person genau eine weitere infiziert. Wäre dieser Wert geringer, würde die Krankheit aussterben, wäre er größer, würde sie sich aufgrund exponentiellen Wachstums zu einer Epidemie entwickeln. Mathematisch betrachtet heißt das:

{\displaystyle R_{0}\cdot S=1}

Damit eine Krankheit mit hoher Basisreproduktionszahl (unter Annahme nicht vorhandener Immunität) endemisch bleibt, muss daher zwangsläufig die Anzahl der tatsächlich Anfälligen gering sein.

Mit der oben getroffenen Voraussetzung über die Alterspyramide lässt sich annehmen, dass jedes Individuum der Population exakt die Lebenserwartung {\displaystyle L} erreicht und dann stirbt. Wenn das durchschnittliche Alter der Infektion {\displaystyle A} ist, sind im Mittel jüngere Individuen anfällig, während ältere Individuen bereits durch vorherige Infektion immunisiert wurden (oder noch immer infektiös sind). Folglich ist der Anteil der für die Krankheit Anfälligen:

{\displaystyle S={\frac {A}{L}}}

Im endemischen Fall gilt jedoch auch:

{\displaystyle S={\frac {1}{R_{0}}}}

Damit gilt

{\displaystyle {\frac {1}{R_{0}}}={\frac {A}{L}}\qquad \Leftrightarrow \qquad R_{0}={\frac {L}{A}}},

was eine Abschätzung der Basisreproduktionszahl durch leicht ermittelbare Daten ermöglicht.

Für eine Bevölkerung mit exponentieller Alterspyramide zeigt sich, dass

{\displaystyle R_{0}=1+{\frac {L}{A}}}.

Die hierbei verwendete Mathematik ist komplexer und somit außerhalb des Rahmens dieser Betrachtung.

Die Mathematik der Impfungen

Wenn der immunisierte Anteil der Bevölkerung (bzw. die „Durchimpfung“) oberhalb des für Herdenimmunität notwendigen Grades liegt, kann eine Krankheit nicht in endemischem Zustand innerhalb dieser Population verbleiben. Ein Beispiel für einen weltweiten Erfolg auf diesem Wege ist die Ausrottung der Pocken, deren letzter Fall 1977 in Somalia dokumentiert wurde.

Derzeit betreibt die WHO eine ähnliche Impfstrategie zur Ausrottung von Polio.

Der Grad der Kollektivimmunität wird als {\displaystyle q} bezeichnet. Da für einen endemischen Zustand

{\displaystyle R_{0}\cdot S=1}

erfüllt sein muss, ist {\displaystyle S=1-q}, denn {\displaystyle q} ist der immune Anteil der Bevölkerung und {\displaystyle q+S=1} (da in diesem vereinfachten Modell jedes Individuum entweder anfällig oder immun ist). Dann gilt:

{\displaystyle R_{0}\cdot (1-q)=1\qquad \Leftrightarrow \qquad 1-q={\frac {1}{R_{0}}}\qquad \Leftrightarrow \qquad q=1-{\frac {1}{R_{0}}}}

Dies ist der Schwellenwert der Kollektivimmunität, dieser muss übertroffen werden, damit die Krankheit ausstirbt. Der hier kalkulierte Wert ist die kritische Immunisierungsschwelle {\displaystyle q_{\text{c}}}. Es ist der minimale Anteil der Bevölkerung, der zur Geburt (oder kurz danach) durch Impfung immunisiert werden muss, damit die Krankheit in der gegebenen Population ausstirbt.

Impfprogramm unterhalb der kritischen Immunisierungsschwelle

Sind verwendete Seren nicht hinreichend effektiv oder können nicht auf hinreichend breiter Front angewendet werden, beispielsweise aufgrund gesellschaftlichen Widerstands (siehe beispielsweise MMR-Impfstoff), so ist das Impfprogramm nicht in der Lage, {\displaystyle q_{\text{c}}} zu übertreffen. Dennoch kann ein solches Programm die Infektionsbalance stören und dabei unvorhergesehene Probleme verursachen.

Angenommen der bei Geburt immunisierte Anteil der Bevölkerung betrage {\displaystyle q} (wobei {\displaystyle q<q_{\text{c}}}) und die Krankheit habe die Basisreproduktionszahl {\displaystyle R_{0}>1}. Dann verändert das Impfprogramm {\displaystyle R_{0}} zu {\displaystyle R_{q}}, wobei

{\displaystyle R_{q}:=R_{0}\cdot (1-q)}.

Diese Änderung findet schlicht aufgrund der gesunkenen Anzahl an potentiell Anfälligen statt. {\displaystyle R_{q}} ist nichts Anderes als {\displaystyle R_{0}} ohne diejenigen Individuen, welche unter normalen Umständen infiziert würden, aber aufgrund der Impfung nicht werden.

Aufgrund dieser gesunkenen Basisreproduktionszahl verändert sich auch das durchschnittliche Alter {\displaystyle A}, unter den nicht Geimpften, auf einen Wert {\displaystyle A_{q}}.

Nach obiger Relation, welche {\displaystyle R_{0}}, {\displaystyle A} und {\displaystyle L} verband, gilt (unter Annahme gleichbleibender Lebenserwartung):

{\displaystyle R_{q}={\frac {L}{A_{q}}},\qquad A_{q}={\frac {L}{R_{q}}}={\frac {L}{R_{0}\cdot (1-q)}}}

Allerdings gilt {\displaystyle R_{0}={\tfrac {L}{A}}}, folglich:

{\displaystyle A_{q}={\frac {L}{{\frac {L}{A}}\cdot (1-q)}}={\frac {A\cdot L}{L\cdot (1-q)}}={\frac {A}{1-q}}}

Somit erhöht das Impfprogramm das mittlere Infektionsalter. Ungeimpfte Individuen unterliegen nun durch Anwesenheit der geimpften Gruppe einer reduzierten Infektionsrate.

Dieser Effekt ist jedoch bei Krankheiten nachteilig, deren Verlauf mit steigendem Alter schwerwiegender wird. Bei einer hohen Wahrscheinlichkeit für tödliche Verläufe kann ein {\displaystyle q_{\text{c}}} nicht übertreffendes Impfprogramm im Extremfall mehr Opfer unter den Ungeimpften fordern, als es ohne Impfprogramm gegeben hätte.

Impfprogramme oberhalb der kritischen Immunisierungsschwelle

Überschreitet ein Impfprogramm die kritische Immunisierungsschwelle einer Population für eine signifikante Dauer, wird die Krankheit innerhalb dieser Bevölkerung gestoppt. Wird diese Eliminierung weltweit durchgeführt, führt sie ultimativ zur Ausrottung der Krankheit.

Siehe auch

• SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung)
• SIS-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung)
• SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)
• SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)
• Basisreproduktionszahl
• Dynamisches System (mathematischer Oberbegriff)

[…]
https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Modellierung_der_Epidemiologie

Anmerkung

Wie in der Ökonometrie wird in der Epidemiologie mit Hilfe von mathematischen Modellrechnungen versucht, Erkenntnisgewinne zu generieren, welche bei der politischen Umsetzung schlimmstenfalls erhebliche Folgen und Wechselwirkungen auslösen können.

zum besseren Verständnis, kurze Zwischenbemerkung zu den wissenschaftstheoretischen Grundlagen der Ökonometrie:

Hypothesen müssen empirisch überprüfbar sein, wobei dabei sehr häufig ceteris-paribus-Bedingungen in realen Daten verletzt werden, mit Schätzungsgleichungen gearbeitet wird, Signifikanzwert als Evidenzmaß für die Glaubwürdigkeit der Nullhypothese, Korrelation ohne Kausalität (Der Korrelationskoeffizient gibt das Ausmaß an, in dem zwei Variablen voneinander abhängen – er gibt aber keinen Hinweis, warum diese Beziehung existiert.), usw. (auf Anfrage gerne ausführlichere Infos)

An der Stelle möchte ich mir jedoch nicht anmaßen, diese Methode im Zusammenhang mit der Epidemiologie zu bewerten, auch wenn der gesunde Menschenverstand gerade im Zusammenhang mit möglicherweise vergleichbarer Methodik in der Ökonometrie immer wieder zu teilweise signifikanten Fehleinschätzungen mit erheblichen wirtschaftlichen Folgen geführt hat.

Da man aber logischerweise wirtschaftliche Fehlentwicklungen nicht mit dem Schutz von Leben und Gesundheit in einen Topf werfen darf, bedarf es bei der mathematischen Modellierung in der Epidemiologie und dem Risiko möglicher Fehlinterpretationen allerhöchste Aufmerksamkeit.

In diesem Zusammenhang wäre es sicher spannend und zielführend, ganz spezielle und fundierte Expertenmeinungen zu dieser Thematik zu erhalten, ohne Gefahr zu laufen, dass solche Experten seitens der Pharmaindustrie, gewissen Philantrophen, die sich dem Impfschutz verschrieben haben, oder gar seitens politischer Strömungen beeinflusst sind.

Ihr Oeconomicus